Research

Onderzoek

Zoeken

Aanbevelingen

Contact

Calculate

Offerte aanvragen of informatie:
Tel.: +31 (0)182-353310
Fax.: +31 (0)182-354711
e-mail: info@trillingen.com
Adres: P.o. Box 154, 2800AD, Gouda The Netherlands

Onderzoek naar trillingshinder en trillingsschade

Onderzoek naar trillingshinder en trillingsschade

Een trilling is een heen en weer gaande beweging van een voorwerp, die enige tijd blijft bestaan.
Een voorbeeld van een trillend systeem is een massa op een veer die in beweging is gebracht, of een slinger in een klok. Ook de naald van een platenspeler vertoont een trilling als hij de groef in een grammofoonplaat volgt, al is deze trilling minder regelmatig dan de andere voorbeelden. Zoals uit dit laatste voorbeeld al blijkt, hebben trillingen een sterke relatie met geluid. Geluid kan ook gezien worden als een trilling in de lucht.

Inhoud

1. Harmonische ongedempte trilling

ω de frequentie van de trilling in radialen per seconde. ω = 2πf, waarin f de frequentie is in Hertz. t de tijd in seconde.

Bij deze formule is de tijdsschaal zo gekozen dat de verplaatsing op t=0 ook gelijk is aan 0, met andere woorden de fase op t=0 bedraagt 0. Het trillende voorwerp heeft naast een verplaatsing ook een snelheid en een versnelling die in de tijd variëren. Omdat de snelheid v in m/s de afgeleide is van de plaats naar de tijd, geldt voor de snelheid: v = A ω sin ω t Zo is de versnelling a in m/s² als afgeleide van de snelheid: a = - A ω² cos ω t Hieruit blijkt dat de vorm van de snelheid en de versnelling sterk lijken op die van de verplaatsing, en ook dezelfde frequentie bezitten. Echter blijkt hieruit ook dat de verplaatsing en de versnelling met elkaar in tegenfase zijn (dat wil zeggen dat de versnelling en de verplaatsing tegelijkertijd op hun maximum zijn, maar met tegengesteld teken), maar dat de snelheid en de verplaatsing 90 graden uit fase zijn. De snelheid bereikt zijn maximum als de verplaatsing nul is. Dit is te aanschouwelijk te maken aan de trillingsbeweging van een slinger, zoals een schommel. De snelheid van de schommel is maximaal als de schommel door de middenpositie gaat (de uitwijking is daar nul). De snelheid is echter gelijk aan nul als de schommel in een uiteinde staat (de uitwijking is daar maximaal). Op dat punt keert de snelheid ook van teken om (de grafiek van de snelheid gaat door nul). In onderstaande figuur zijn de verplaatsing (zwarte lijn), snelheid (paarse lijn) en de versnelling (groene lijn) getekend als functie van de tijd op de x-as. De amplitude van deze trilling is op 1 gesteld, evenals de frequentie ω.

Zou ω in deze grafiek niet gelijk aan 1 zijn, dan worden de toppen van de drie grafieken verschillend van hoogte. Bij een grotere waarde van de frequentie gaat de trilling bovendien sneller.

1.1. Beschrijving in het complexe vlak

Een harmonische op en neer gaande beweging kan worden gezien als de projectie van een eenparige cirkelbeweging in het complexe vlak. Dit is één van de toepassingen van de complexe getallen.

2. Gedempte trilling

De hierboven beschreven ongedempte trilling bestaat in de praktijk niet. In het model van de ongedempte trilling blijft deze altijd in beweging, als de massa eenmaal uit evenwicht is gebracht. Een meer realistisch model van de werkelijkheid is de gedempte trilling. Als de massa uit evenwicht is gebracht, verdwijnt er bij elke trillingscyclus een gedeelte van de energie. Deze wordt bijvoorbeeld via wrijving in warmte omgezet. Over het algemeen neemt men aan dat de energie met de tijd vermindert als een exponentiële functie, e^-γt, waarbij e het getal e is, en γ de dempingsterm. De gedempte trilling heeft dan de volgende vorm: x = A e^-γt cos ω t Voor de bepaling van de snelheid en de versnelling, moet deze functie gedifferentieerd worden. Omdat x nu uit twee factoren bestaat is het resultaat complexer (zie kettingregel). De formule voor de snelheid gaat nu bestaan uit twee termen, één met sin ω t en de ander met cos ω t, elk met een andere factor ervoor. De snelheid krijgt hierdoor een ander faseverschil met de verplaatsing dan bij de ongedempte trilling. Hetzelfde geldt voor de versnelling. De verplaatsing van een gedempte trilling met vrij weinig demping ziet er als functie van de tijd
als volgt uit:

zwak gedempte trilling

Is de demping groter, dan dempt de trilling sneller uit:

sterk gedempte trilling

Als de dempingsterm nog groter is dan in deze voorbeelden, en een bepaalde waarde bereikt, de "kritisch demping" dan gaat de verplaatsing van de massa snel naar nul, zonder door de nul heen te schieten. Is de dempingswaarde nog groter, dan is de trilling overgedempt.

kritisch gedempte trilling

Voor (analoge) meetinstrumenten met een wijzer wordt het trillen van de naald zodanig gedempt dat er nog net 1 keer overshoot optreedt waarna de wijzer tot rust rust komt. Dit gebeurt bij een demping van 0.7 * kritische demping.

3. Energieoverdracht

Uit de mechanica weten we dat het geleverde vermogen door een kracht aan een bewegend systeem gegeven is door :

In de cursustekst wordt dit wiskundig uitgewerkt en wordt het gemiddeld vermogen berekend met als resultaat :
Dus is maximaal als j = 0 .
Dit is bij ( ).

Dit komt overeen met de snelheidsresonantie. Er is dus maximale energieoverdracht van de omgeving naar het systeem als er snelheidsresonantie optreedt of als de kracht en de snelheid in fase zijn (faseverschil gelijk aan nul). (In stationaire toestand wordt het geleverd vermogen volledig gedissipeerd in de viskeuze demper). Dit wordt o.a. toegepast bij een drilboor of de afstemming van een radio of TV op de zenderfrequentie of nog de energielevering door het elektriciteitsnet aan bedrijven vermits dit gebeurt via een wisselspanning van de vorm : V = V m sin ( w t).

In de grafiek die nu volgt kan je het verloop van de amplitude, snelheid en fase j als functie van ω" bekijken bij verschillende waarden voor de demping b , die je zelf kan kiezen. Let op het verloop van de curven als de demping toe- of afneemt.